The Valuation Of Executive Stock Options In A Intensity Based Framework

A Avaliação das Opções Executivas de Ações em uma Estrutura de Intensidade Transcrição 1 Revista Financeira Europeia 4. Kluwer Academic Publishers. Impresso nos Países Baixos. 211 A avaliação das opções de ações executivas em uma estrutura baseada em intensidade PETER CARR 1 e VADIM LINETSKY 2 1 Banc of America Securities, Equity Financial Products, 9 West 57th street, 4º andar, New York, NY Departamento de Engenharia Industrial e Ciências da Gestão, Escola de Engenharia de McCormick e Ciências Aplicadas, Universidade Northwestern, 2145 Sheridan Road, Evanston, IL Resumo. Este artigo apresenta uma estrutura geral baseada em intensidade para valorizar as opções de ações executivas (ESOs). Ele se baseia nos recentes avanços na arena de modelagem de risco de crédito. O exercício antecipado ou perda por cessação voluntária ou involuntária do emprego eo exercício antecipado devido ao desejo do executivo de liquidez ou diversificação são modelados como um processo de ponto exógeno com intensidade aleatória dependente do preço das ações. Duas especificações analiticamente tratáveis ​​são dadas onde o valor ESO, o tempo esperado de exercício ou perda eo preço esperado das ações no momento do exercício ou perda são calculados em forma fechada. Palavras-chave: área browniana, exercício precoce, opções de ações executivas, fórmula de Feynman-Kac, confisco, transformada de Laplace, tempo de ocupação, processos pontuais com intensidade aleatória. Classificação de JEL: G13, G39, M Introdução As opções de ações executivas (ESOs) constituem atualmente uma fração considerável de despesas de remuneração total de muitas empresas. É importante avaliar com precisão o custo dessas opções para os acionistas, tanto para fins contábeis como de uma perspectiva de controle gerencial (ver Carpenter, 1998, Jennergren e Naslund, 1993). Desde 1995, o SFAS 123 do Financial Accounting Standards Board (FASB) determinou que uma estimativa do custo dos subsídios do ESO seja divulgada em nota de rodapé. Embora não seja necessário, o método de avaliação recomendado é usar a fórmula de precificação de preços Black Scholes. A maturidade sugerida nesta fórmula é a vida esperada, embora a vida máxima (tipicamente 1 ano na concessão) possa também ser usada. Rubinstein (1995) argumenta, por razões teóricas, que qualquer método tenderá a causar supervalorização. Da mesma forma, Marquardt (1999) empir - Estamos gratos pela assistência computacional de Dmitry Davydov e por comentários de Jim Bodurtha, Menachem Brenner, Jennifer Carpenter, Bill Margrabe e Carol Marqurdt. Eles não são responsáveis ​​por quaisquer erros. 2 212 PETER CARR E VADIM LINETSKY determina que ambos os métodos sobrevalorizam o custo econômico para os acionistas da emissão de ESOs. Os ESOs são tipicamente chamadas americanas de longa data, que diferem das opções padrão, uma vez que têm um período de aquisição inicial durante o qual o exercício é proscrito. Embora seja fácil determinar numericamente o valor e a política de exercício ideal para os ESOs em um mercado sem atrito, certas fricções institucionais complicam a determinação da política de exercício ótimo para os ESOs. Em primeiro lugar, o titular de um ESO não pode vender ou transferir a sua opção. Além disso, o titular não pode cobrir a sua chamada, uma vez que posições curtas nas ações da empresa são proibidas. Em contrapartida, o emitente está autorizado a transferir a sua responsabilidade ou a cobrir a sua obrigação. Em geral, esta assimetria conduz uma cunha entre o valor para o receptor eo valor para o emitente. Ambos os valores são afetados pela política de exercícios utilizada pelos executivos, que é em geral determinada tanto por informações publicamente disponíveis, como preços de ações e por informações específicas do executivo, como composição de carteira pessoal, aversão ao risco e demanda de liquidez do executivo. A política de exercício ideal utilizado pelo executivo não precisa coincidir com a política de exercício ideal prevalecente na ausência dessas fricções desde o exercício antecipado pode ser ideal para a diversificação ou razões de liquidez, mesmo se o estoque subjacente não paga dividendos. Uma segunda razão pela qual a política de exercícios ótimos do executivo pode se desviar da política de mercados perfeitos é que o executivo pode deixar a empresa voluntária ou involuntariamente enquanto a opção estiver viva. Neste caso, o executivo perde suas opções se eles estão fora do dinheiro, e terá que exercer mais cedo se eles estão no dinheiro. Duas abordagens gerais foram adotadas para modelar as decisões do exercício executivo e avaliar o custo dos ESOs para a empresa. Na primeira abordagem, pressupõe-se que o executivo exerce a opção de acordo com uma política que maximize sua utilidade esperada sujeita a restrições de cobertura (Huddart, 1994 Marcus e Kulatilaka, 1994 Detemple e Sundaresan, 1998). Nessa abordagem, é preciso modelar explicitamente tais variáveis ​​não observáveis ​​como a aversão ao risco do executivo, sua riqueza externa e o ganho potencial de mudar seu emprego. Na abordagem alternativa, um modelo de exercício precoce como um tempo de paragem exógeno, e. O primeiro salto de algum processo exógeno de Poisson, como em Jennergren e Naslund (1993). O processo de Poisson serve como um proxy para qualquer coisa que faz com que o executivo exerça a opção antecipadamente, incluindo o desejo de diversificação ou liquidez e cessação voluntária ou involuntária do emprego. Em contraste com a abordagem de maximização da utilidade, a taxa de risco ou intensidade desse processo de Poisson exógeno é o único parâmetro no modelo que precisa ser estimado a partir de dados empíricos. Em um interessante trabalho recente, Carpenter (1998) mostra que este segundo modelo baseado em intensidade de forma reduzida executa tão bem ou melhor que o modelo estrutural mais complicado em testes empíricos dos dois modelos de avaliação ESO concorrentes na previsão de padrões de exercício para uma amostra de 4 empresas. Essa dicotomia na modelagem da decisão de exercício do executivo é paralela à modelagem dos eventos de inadimplência exigidos na avaliação do risco de crédito das empresas. A literatura sobre a fixação de preços da dívida de risco de risco pode ser subdividida em duas classes: modelos estruturais e modelos baseados em intensidade reduzida. A primeira classe de modelos, que remonta a Black e Scholes (1973) e Merton (1974), modela o evento padrão como uma decisão de maximização da utilidade pelos detentores de capital próprio (ver Leland, 1994) e Leland e Toft (1996). A segunda classe de modelos são modelos de forma reduzida que especificam de forma exógena o padrão como ocorrendo no primeiro momento de salto de um processo pontual com intensidade aleatória (taxa de risco padrão) (ver Duffie et al., 1996, Jarrow e Turnbull, 1995 Jarrow et al., 1996 Lando, 1998 Madan e Unal, 1996, 1998). Davydov et ai. (1998) valor do crédito dívida de risco no quadro baseado em intensidade uisng uma abordagem semelhante ao nosso. Em todos esses modelos, a intensidade do processo pontual é calibrada para dados empíricos. Devido à relativa simplicidade de calibração e testes empíricos, a filosofia de modelagem de forma reduzida está ganhando popularidade considerável nos mercados de crédito. A contribuição deste trabalho é dupla. Em primeiro lugar, desenvolvemos uma estrutura baseada em intensidade estocástica geral para a avaliação de ESOs em que a intensidade do exercício inicial ou confisco h t h (s t, t) depende do preço das ações subjacentes e do tempo. Em segundo lugar, sugerimos duas especificações analíticamente tratáveis ​​simples de modelos baseados em taxas de risco de ESOs. No primeiro exemplo, a intensidade é especificada da seguinte forma (supondo que o ESO é investido): ht lambda f lambda e 1, (1) onde S t é o preço de acção subjacente, K é o preço de exercício da ESO, lambda f é a A intensidade constante do exercício antecipado ou a perda devido à exógena cessação voluntária ou involuntária do emprego (assumida independentemente do preço da ação) e lambda e 1 é a intensidade constante do exercício antecipado devido ao desejo exógeno do executivo de liquidez ou diversificação assumida positiva E constante se o ESO estiver dentro do dinheiro e zero caso contrário (1 A é a função indicadora do evento A e em lambda e significa exercício). Assim, a intensidade de confisco quando o estoque está fora do dinheiro é lambda f (f significa perda), enquanto a intensidade total de exercício antecipado quando a opção está no dinheiro é lambda f lambda e. O risco integrado linearmente depende do tempo de ocupação do estoque subjacente acima da greve K (ou seja, quando o ESO está no dinheiro) eo modelo de avaliação correspondente do ESO baseia-se em alguns resultados recentes sobre derivados de tempo de ocupação (ver Akahori, 1995 Chesney Et al., 1997 Dassios, 1995 Davydov e Linetsky, 1998 Embrechts et al., 1995 Hugonnier, 1998 Linetsky, 1998, 1999 Pechtl, 1995, 1998). No segundo exemplo analiticamente tratável, a intensidade é especificada como segue (assumindo que o ESO é investido): h t lambda f lambda (em S t ln K). (2) 4 214 PETER CARR E VADIM LINETSKY Neste caso, o primeiro termo devido à rescisão é ainda independente do preço das acções1, mas o segundo termo devido ao desejo de liquidez ou de diversificação é agora uma função monotonicamente crescente do subjacente Preço da ação se o ESO estiver em-o-dinheiro e zero caso contrário (x: x1 denota a parte positiva de x). O risco integrado linearmente depende da chamada área browniana eo modelo de avaliação correspondente do ESO baseia-se nos resultados de Davydov, Linetsky e Lotz (1998) sobre as opções de área. O restante deste artigo está organizado da seguinte forma. Na Seç~ao 2, consideramos uma estrutura estocástica geral baseada na intensidade para a avaliaç~ao de ESOs. Na Seção 3, resolvemos o modelo com a especificação de intensidade dada em (1). Na Seção 4, resolvemos o modelo com a especificação de intensidade (2). Exemplos numéricos são dados na Seção 5. Seção 6 conclui o artigo. 2. Uma Formulação Baseada em Intensidade Geral Assumimos mercados sem atrito, sem dividendos, uma taxa de risco r constante, e que o preço subjacente de ações obedece ao seguinte processo de difusão sob a medida de probabilidade de risco neutro. ), Onde Wt Q é um movimento browniano padrão, o processo está começando em SS no tempo t, ea função de volatilidade local sigma (s, t) é assumida contínua e estritamente positiva para todos os S ,) E limitado como S (para todo t). O tempo de exercício antecipado ou confisco T pode ser pensado como o primeiro tempo de salto de um processo pontual com intensidade aleatória (taxa de risco) h t, que é geralmente uma função do tempo eo preço das ações subjacentes, h t h (s t, t). Então, a probabilidade em Q de nenhum exercício antecipado até o tempo t para uma determinada trajetória de preço é (veja Bremaud (198) e Lando (1998) para detalhes sobre processos pontuais com intensidade aleatória): e Q (T gtt) eth , U) du, (3) Q (T gtt) EQ, S et (su, u) du, onde a expectativa é em relação à medida neutra ao risco Q. Seja t a data de concessão ESO e tv, A data de aquisição do ESO, o valor em t, T de um ESO não exercido com preço de exercício K e maturidade T é dado pela expectativa de risco neutro: 1 Em geral, pode-se também fazer a intensidade de confisco lambda fa função do preço das ações discutindo Que o executivo é mais provável deixar a empresa quando o preço das ações é baixa em relação ao preço de exercício de seus ESOs. Para simplificar, assumimos que lambda f é constante. 5 EXECUTIVE STOCK OPTIONS EM UM QUADRO DE INTENSIDADE 215 C (S, t K, T) er (tt) EQ t, s 1 (STK) EQ t, ser (tt) 1 (STK), (4) Um tempo de parada assumido como o primeiro tempo de salto do processo pontual com a intensidade ht, e o subscrito t, s no operador de expectativa E t, s significa que o preço da ação é S no instante t. Observe que, seguindo Jennergren e Naslund (1993), assumimos que o risco de salto é sem preço, ou seja, pode ser diversificado afastando-se pela emissão de um portfólio diversificado de ESOs. Como muitas empresas emitem vários OENs 2, consideramos isso uma suposição razoável na prática. O primeiro termo do lado direito da Equação (4) é o valor presente da recompensa da opção na maturidade, dado que não há exercício prévio. O segundo termo é o valor presente da recompensa no momento do exercício, uma vez que a opção é exercida antecipadamente. Esta decomposição de valor é análoga à decomposição de valor que surge para valores mobiliários inadimplentes. O primeiro termo em (4) é análogo ao valor presente do pagamento prometido condicional ao não default, enquanto o segundo termo é o valor presente do pagamento de recuperação pago no momento da inadimplência, se ocorrer inadimplência antes do vencimento. Devido à relação chave (3), a expectativa pode ser reescrita na forma: e (t, t) , Sthu du (STK) euths ds hu (S u K) du. Por meio do teorema de Feynman-Kac (ver, por exemplo, Karatzas e Shreve (1992)), o valor de ESO C (S, t K, T) no tempo t, t lt T é ​​a única solução para o problema de Cauchy para a PDE: (S, TK, T) (SK) 1 2 sigma 2 (S, t) s 2 2 CS rs C2S rc h (s, t) 1 (SK) CCt sujeito à condição terminal, . (6) O significado financeiro do segundo último termo do lado esquerdo da Equação (5) é que ao longo de um período de tempo infinitesimal dt, há uma probabilidade ht dt do executivo exercendo sua opção e recebendo (S t K ) Em troca se o ESO é investido (t gtt v) e nada em contrário (a opção é perdida). Além do valor do ESO, também estamos interessados ​​no tempo esperado de exercício ou perda (o esperado ESO maturidade): Por exemplo, Marquardt (1999) examina 58 empresas Fortune 1 em um período de 21 anos e encontra uma média de 17 bolsas por empresa. 6 216 PETER CARR E VADIM LINETSKY eo preço esperado das acções no momento do exercício ou da perda: S T E P, S 1 S T E P, S 1 S T. (8) Note-se que, em contraste com o cálculo do valor de ESO que é realizado sob a medida Q neutra ao risco, essas quantidades são calculadas sob a medida estatística P em que: ds t ms t dt sigma (st, t) T, SS e m é a taxa de retorno esperada anualizada do estoque no mundo real (m é assumido constante). Usando a relação de chave (3) (considerada em P), é fácil ver que as equações (7) - (8) reduzem para: e TP (T gtt) TP (TT) t dt P (Tgtt) dt teth Su, u) du dt, (9) EP, SSTE, PT PT h (st, t) dt STE, S e Pth (su, u) du h (st, t) st dt. (1) Carpenter (1998), Huddart e Lang (1996) e Marquardt (1999) dão todos os tempos empíricos esperados de exercício e os preços médios das ações no momento do exercício para suas amostras. Dados os valores dos parâmetros m, sigma, S, t v, andt, pode-se calibrar a intensidade de exercício ou confisco h t para os dados empíricos usando as Equações (9) e (1). 3. A Especificação de Tempo de Ocupação: Um Modelo de Opção de Passo para Avaliar ESOs Nesta seção, restringimos a configuração discutida na seção anterior com vista a obter soluções explícitas para as quantidades de interesse. Assumimos uma volatilidade constante, ou seja, sigma (s, t) sigma, e que a opção é investida, isto é, tv (estendemos ao caso de opções que ainda não estão investidas no final desta Seção). Consideramos também uma especificação particularmente simples para a intensidade do exercício ou confisco: ht lambda f lambda e 1, (11) onde S t é o preço subjacente das ações, K é o preço de exercício do ESO, lambda f é a intensidade constante do início Exercício ou perda devido à exógena cessação voluntária ou involuntária do emprego (assumida independentemente do preço da ação), e lambda e 1 é a intensidade constante do exercício antecipado devido à exógena do executivo Desejo de liquidez ou de diversificação assumido positivo e constante se o ESO está in-the-money e zero caso contrário. De acordo com estas premissas, o valor ESO inicial (isto é, t) se simplifica para 3. C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TEQ, S e lambda etau K (T) (STK) (12) onde tau K (t) t 1 du é o tempo de ocupação do dinheiro dentro do dinheiro Região até o tempo t. Esta expectativa pode ser expressa como um conjunto de opções de passos geométricos up-and-out com knock-out rate lambda e barreira knock-out igual à greve: C (SK, T lambda f, lambda e) e lambda f TC lambda e (13) em que C lambda e (S t, k, k) é o valor de um valor ascendente, (K, k, k) e (K, k) e (K, k) e (K) e K Rt EQ, S e lambda etau K (t) (S t K). (14) A compensação na maturidade t de uma chamada escalonada geométrica pode ser interpretada como a de uma chamada padrão, exceto que a noção subjacente da ação é dependente da trajetória, pois depende do tempo de ocupação acima da greve: e lambdatau K (t ). Em outras palavras, um passo geométrico perde uma dada fração de seu nocional por unidade de tempo acima da barreira. Introduza a seguinte notação: x: 1 sigma ln (SK), nu: 1 sigma (r sigma 2) Então a expectativa na Equação (14) se reduz a: 2), xi: r nu2 2. (15) C lambda e (16) 3 Note-se que a intensidade de confisco constante lambda f é adicionada à taxa de desconto (x, t, k) Na Equação (12). Intuitivamente, a possibilidade de perda diminui o valor do ESO da mesma forma que a possibilidade de inadimplência reduz o valor de uma obrigação inadimplente, ea intensidade de confisco é adicionada à taxa livre de risco como um spread de crédito. Onde a função é definida como: rho (nu k, x, t): E, xe nuw t rho (t) 1, (17) onde a expectativa E, x é condicional ao movimento browniano W t começando em x em t e (t) t 1 du é o tempo de ocupação da meia-linha negativa (,) até o tempo t. 4 Esta expectativa é calculada em forma fechada em Linetsky (1999). Para a conveniência do leitor, a forma analítica explícita da função é dada no Apêndice A. Assim, as Equações (13) e (16) fornecem uma solução analítica simples para o valor de ESO sob a especificação (11) para a intensidade de exercício e confisco . O tempo esperado de exercício ou confisco (9), de acordo com a presente especificação, é o seguinte: (T) (onde L e L ST são computados sob a medida estatística P): nu P: 1 sigma (m sigma 2 2). (19) O preço esperado das existências no momento do exercício ou da caducidade é o seguinte: ST e (lambda f lambda e nu 2 P 2) T nu P x K lambdae (nu P sigma, x, t) K e (lambda f lambda e Nu 2 P 2) t nu P x lambda f lambdae (nu P sigma, x, t) lambda e lambdae (nu P sigma, x, t) dt. (2) Agora considere o caso t v gt, ou seja, a opção ainda não está investido. Suponha que S v S (t v) é o preço da ação na data de aquisição. O valor de ESO na data de vencimento tv é dado por C (S v K, T tv lambda f, lambda) definido pela equação (13) (observe que o tempo até o vencimento é agora igual a T tv, então precisamos substituir TT tv na Equação (13)). Então o valor de ESO no tempo t é computado tomando a expectativa: C (S, K, tv, t lambda f, lambda e) e (rlambda f) tv C (S v K, T tv lambda f, lambda e) p Para os antecedentes sobre os tempos de ocupação e outros funcionais dos processos de movimento e difusão de Brownian, bem como os cálculos de suas leis de tipo Feynman-Kac, ver Karatzas e Shreve (p. 1992), Borodin e Salminen (1996) e Revuz e Yor (1994). Onde p Q é a densidade de probabilidade (lognormal) do preço das ações na data de aquisição, considerando o preço de mercado conhecido hoje (no tempo t): (S v, tv S), onde p Q é a densidade de probabilidade (lognormal) 4. A Especificação de Área Browniana: Um Modelo de Opção de Área para Avaliar ESOs Como na seção anterior, primeiro assumimos que a opção já está investida, Ie tv. Sob a especificação de tempo de ocupação, a intensidade de exercício ou perda é constante acima da greve. No caso em apreço, o primeiro termo devido à cessação voluntária ou involuntária do emprego continua a ser independente (por exemplo, no que diz respeito ao contrato de trabalho voluntário ou involuntário) Do preço da ação, mas o segundo termo devido ao desejo de liquidez ou diversificação é agora uma função crescente do dinheiro S t K se o ESO está no dinheiro e zero caso contrário (x denota a parte positiva de x). Uma especificação similar para a taxa de risco padrão foi utilizada por Davydov, Linetsky e Lotz (1998) para modelar a dívida corporativa de risco de crédito. O valor ESO investido (4) sob esta especificação toma a forma: C (SK, T lambda f, Lambda e) e (rlambda f) TEQ, S exp (lambda e (ln S t ln K) dt (STK) t) e (rlambda f) t EQ, S exp K Para calcular essa expectativa, observamos primeiro que o processo de preço das ações pode ser representado como: S t Ke sigma (t), (25) onde W t É um movimento browniano começando em x (definido na Equação (15)) no tempo t. Em seguida, devido ao teorema de Girsanov: C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TE, xe nu (wT x) nu2 2 T sigmalambda e W t dt (Ke sigmaw TK) e (rlambda f) T E, xe nu (wtx) nu2 2 t sigmalambda te W u do lambda f sigmalambda e W t 10 22 PETER CARR E VADIM LINETSKY (Ke sigmaw t K) dt e (xilambda f) T nux K sigmalambdae (Nu, x, t) e nux K e (xilambda f) t lambda f sigmalambdae (nu sigma, x, t) sigmalambdae (nu sigma, x, t) (26) nu onde introduzimos a seguinte notação: alfa (nu k, x, t): E, xe nuw t alfa t 1, (27) A t Tweet (28) A função A t é chamada de área browniana até o tempo t (ver Perman e Wellner, 1996). É igual à área (aleatória) sob a parte positiva de um caminho de amostra browniano de zero ao tempo t. A expectativa na Equação (27) é calculada por Davydov, Linetsky e Lotz (1998) através do teorema de Feynman-Kac: alfa (nu k, x, t) e nuy E, xe alfaa t W t dy kke nuy L 1 t Dy, (29) onde a expectativa dentro da integral é expressa como a transformada de Laplace inversa em s do núcleo resolvente G alfa (x, ys). A forma analítica é dada no Apêndice B. 5 O tempo esperado de exercício ou perda de acordo com esta especificação é: (3) onde Nu P é dada na Equação (19). O cálculo do cálculo da funcionalidade está próximo do espírito dos cálculos de Geman e Yor (1993) para as opções asiáticas e de Geman e Yor (1996) para as opções de barreira dupla Na fórmula de Feynman-Kac. 11 OPÇÕES DE ACÇÃO EXECUTIVA EM UM ENQUADRAMENTO DE INTENSIDADE 221 ST e (lambda f nup 2 2) T nu P x K sigmalambdae (nu P sigma, x, t) K e (lambda f nup 2 2) t nu P x lambda f Sigmalambdae (nu P sigma, x, t) sigmalambda e sigmalambdae (nu P sigma, x, t) nu P dt. (31) O caso tv gt, ou seja, a opção ainda não está investido, é tratado de forma semelhante à Equação (21). 5. Exemplos Numéricos Para ilustrar nossos modelos, considere um ESO de dez anos concedido ao dinheiro 6 (S K 1) e adquirido imediatamente (t v). Assumimos que o estoque subjacente tem uma volatilidade de 3 por ano, não paga dividendos, a taxa sem risco é de 5 por ano ea taxa de retorno esperada anualizada sobre o estoque sob a medida estatística P é de 15 por ano (lembre-se que a O tempo esperado de exercício ou a perda e o preço esperado das ações no momento do exercício ou da perda são calculados sob a medida estatística). Os quadros I e II dão o valor do ESO na data de concessão, o tempo esperado de exercício ou perda eo preço esperado das ações no momento do exercício ou perda como funções dos parâmetros do processo pontual lambda f e lambda e sob a ocupação (11) ea especificação da área browniana (23), respectivamente. Para lambda f lambda e, o valor de ESO é igual ao valor de Black-Scholes de dez anos, o tempo de exercício esperado é igual ao vencimento de ESO (dez anos) eo preço esperado da ação no momento do exercício é igual a e 1m S (sem exercício ou perda antecipada). À medida que as taxas de lambda f e lambda aumentam, o valor do ESO, o tempo esperado de exercício ou confisco e o preço esperado das ações no momento do exercício ou confisco diminuem todos. Dado T e S T, pode-se calibrar os nossos modelos, retrocedendo os parâmetros de intensidade lambda f e lambda e valorizar os ESOs com estes valores de parâmetros. Carpenter (1998) relata que os tempos médios de exercício para ESOs de um ano em sua amostra são de cerca de 5,8 anos, com o preço médio das ações no momento do exercício de cerca de 2,8 vezes o preço de exercício da ESO. Marquardt (1999), que estuda uma amostra diferente de empresas que concedem o ESO, relata que os tempos médios de exercício para ESOs de 1 ano em sua amostra são de cerca de 5,6 anos, com o preço médio das ações no momento do exercício de cerca de 2,2 vezes o preço de exercício ESO . Assim, empiricamente, os tempos de exercício típicos estão na faixa de cinco a seis anos, com o preço das ações no momento do exercício de duas a três vezes a greve do ESO. Considere um exemplo do modelo de tempo de ocupação com lambda f 8 por ano e lambda e 12 por ano. O tempo de exercício esperado para essas intensidades é de 4,99 anos, com o preço esperado das ações no momento do exercício de 2,31 vezes o ESO 6 Marquardt (1999) descobriu que 85 dos 987 ESOs em sua amostra foram emitidos com dez anos de maturidade. Ela afirma que a maioria são emitidos com greve igual ao preço das ações na concessão. 12 222 PETER CARR E VADIM LINETSKY Tabela I. Modelo de Tempo de Ocupação. Valores do ESO, tempos esperados de exercício ou perda e preços esperados das ações no momento do exercício ou confisco como funções dos parâmetros de intensidade lambda f e lambda e. Parâmetros: K 1, S 1, T 1 anos, sigma .3, r .5, m .15, tv, sem dividendos lambda e lambda f Valor ESO Exercício esperado ou tempo de confisco (anos) Preço esperado da ação no momento do exercício ou Caducidade relativa à greve 13 OPÇÕES DE AÇÕES EXECUTIVAS EM UM QUADRO DE INTENSIDADE 223 Tabela II. Modelo de Área. Valores do ESO, tempos esperados de exercício ou perda e preços esperados das ações no momento do exercício ou confisco como funções dos parâmetros de intensidade lambda f e lambda e. Parâmetros: K 1, S 1, T 1 anos, sigma .3, r .5, m .15, tv, sem dividendos lambda e lambda f Valor ESO Exercício esperado ou tempo de confisco (anos) Preço esperado da ação no momento do exercício ou Caducidade relativa à greve 14 224 PETER CARR E VADIM LINETSKY. O valor de ESO correspondente a estes parâmetros é Em contraste, o método de avaliação recomendado pelo FASB é usar a fórmula de precificação de Black Scholes Europeia. O prazo de vencimento utilizado nesta fórmula pode ser a data de vencimento (dez anos, neste caso) ou uma estimativa da vida esperada (4,99 anos, neste caso). O valor Black-Scholes correspondente de uma chamada de dez anos é 56.38 maior do que o valor previsto pelo nosso modelo. O valor Black-Scholes de uma chamada de 4,99 anos é 35,92, 6,87 superior ao valor previsto pelo nosso modelo. Assim, os valores de ESO calculados de acordo com o modelo baseado em intensidade são significativamente mais baixos do que os valores de Black-Scholes correspondentes, representando o comportamento subótimo do executivo. Isso tem implicações contábeis significativas. Se se pretender valorizar os ESOs para fins contábeis usando o modelo Black-Scholes, conforme recomendado pelo FASB, um deles exageraria significativamente seus verdadeiros custos para os acionistas e penalizaria injustamente as empresas que concedem ESOs. 6. Conclusão e orientações para pesquisas futuras A contribuição deste trabalho é duas vezes. Primeiro, desenvolvemos uma estrutura baseada em intensidade estocástica geral para a avaliação de opções de ações executivas. Em segundo lugar, sugerimos duas especificações analiticamente tratáveis ​​para a intensidade do exercício e confisco. Ambas as especificações têm a forma (supondo que o ESO é investido): ht lambda f lambda e phi (st) 1, onde lambda f é a intensidade de Poisson constante de exercício antecipado ou confisco devido ao início voluntário ou involuntário de cessação de emprego e lambda e phi (St) 1 é a intensidade do exercício inicial devido ao desejo do executivo de liquidez ou diversificação. A última intensidade só é positiva quando a opção está dentro do dinheiro. De acordo com a primeira especificação, phi (s) 1. Isto leva ao modelo de tempo de ocupação analiticamente tratável para ESOs, onde a probabilidade de exercício antecipado devido ao desejo do executivo de liquidez ou diversificação depende do tempo de ocupação da região monetária . Sob a segunda especificação, phi (s) ln S ln K, levando ao modelo de área Brownian analiticamente tratável. Ambas as especificações refletem o fato de que há dois fatores econômicos distintos que influenciam a decisão do exercício executivo. Estes são o desejo do executivo por liquidez ou diversificação que só induz exercícios quando a opção é investida e in-the-money, ea possibilidade de rescisão voluntária ou involuntária do emprego (isto é igualmente provável quando a opção é dentro ou fora de - o-dinheiro e é suposto ser independente do preço das ações). Argumentamos que nossa especificação com dois parâmetros de intensidade separados fornece uma descrição mais completa da situação econômica em mãos do que trabalhos anteriores 7 que modelaram o exercício inicial e a perda como decorrentes de um processo de Poisson com um único parâmetro de intensidade constante independente do preço da ação. 7 Veja Shimko (199) e Jennergen e Naslund (1993) para o caso especial de nosso modelo com lambda e. Nossos resultados podem ser ampliados de várias maneiras. Em primeiro lugar, na prática, as empresas às vezes reajustam os termos dos ESOs anteriormente emitidos, especialmente quando a queda dos preços das ações deslocou a opção para fora do dinheiro. Em alguns trabalhos recentes interessantes, Brenner, Sundaram e Yermack (1998) desenvolvem um modelo para valorizar os ESOs, o que explica a possibilidade de reapreciação. Repricing envolve a especificação de um novo preço de exercício quando o preço das ações cai significativamente. 8 Quando a opção é retitulada, o novo preço de exercício é especificado (na prática, a nova greve é ​​freqüentemente definida igual ao preço da ação então corrente, ou seja, a opção é reescrita na moeda). Brenner, Sundaram e Yermack (1998) observam que, ignorando a possibilidade de exercício antecipado ou confisco, um ESO cujo preço de exercício K mude para K na primeira vez que o preço das ações cai abaixo de uma barreira B pré-especificada pode ser avaliado como um Carteira de uma down-and-out chamada com o preço de exercício K (greve antiga) e um down-and-in call com a greve K (greve nova). Em seguida, as fórmulas padrão de avaliação de opções de barreira são usadas para avaliar o ESO (ver Rubinstein e Reiner (1991), por exemplo). Nossa abordagem para modelar o exercício precoce e a perda pode ser estendida aos ESOs sujeitos a reprecificação desta maneira adicionando uma barreira mais baixa a nossa análise. Consistent with our approach to modeling forfeiture and early exercise, an alternative approach to modelling repricing is to assume that it occurs at the first jump time of a point process, with some intensity dependent on the stock price. One possible (and analytically tractable) choice would be: h t lambda r 1 , where H is some barrier set at or below the strike K, andlambda r is constant. We note that the model of Brenner, Sundaram, and Yermack (1998) arises as a special case of this framework by letting lambda r approach infinity. A second possible (and analytically tractable) choice for the specification of the repricing intensity would be: h t lambda r (ln H ln S t ) , where again H K, andlambda r is constant. As in the first specification, the probability of repricing in this model is zero if the option is in-the-money and positive when the option is out - of-the-money. Now, however the probability of repricing increases as the stock price declines below the barrier H. Second, our methodology can be extended to indexed ESOs. Johnson and Tian (1999) design and develop a pricing model for an ESO with a strike price indexed to a benchmark index. The indexed option filters out common risks beyond the executive s control, thereby increasing the efficiency of incentive contracts by focusing them on the relative performance of the company stock relative to a benchmark. Johnson and Tian (1999) derive the ESO pricing formula based on 8 The empirical evidence in Chance, Kumar, and Todd (1999) suggests that ESOs are usually repriced when the stock declines by about 25 16 226 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Margrabe s (1978) exchange option formula, ignoring the effects of early exercise and forfeiture. Our approach can be used to relax the latter assumption. A third extension of this line of research would involve valuing ESOs of companies which pay sizeable dividends. Formally, this is an extension of our results to time and stock price dependent intensity which becomes infinite if the stock price is above the critical stock price at an ex-dividend date. This extension would be most relevant for firms such as utilities which typically have large dividends and low volatilities. Finally, our methodology can be applied to value other assets. For example, it is well known that mortgages are not usually prepaid optimally and that companies often call their debt late. Potential explanations for late calling include bounded rationality, signalling phenomena, or agency costs. The latter two explanations account for the realistic possibility that the decision depends on private as well as public information. A model in which the probability of prepayment or call depends on the interest rate (and stock prices in the case of callable convertibles) might tractably capture the behavior of investors or managers more reliably than requiring that decisions be based on publicly available information. In general, the implications for asset pricing of optimizing behavior based on both public and private information is a fascinating avenue for future research. Appendix A. The expectation E, x e nuw T rho (T ) 1 Let tltt. Introduce the following notation: d 1 d 3 d 5 d 7 k x nut T, d 2 d 1 sigma T, k x nut T, d 4 d 3 sigma T, k x nut t, d 6 d 5 sigma t, k nut t, d 8 d 7 sigma t, C 1 1 x2 T t nux, C 2 t 12 C 1 t 32 xk, C 3 C 1 sigmax. Then the function rho (nu k, x,t ) E x e nuw T rho (T ) 1 (Linetsky, 1999): is given by 17 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 227 Region I: k andx rho I nu2 (nu k, x,t ) enux 2 T N(d 1 ) e nux nu2 2 T N(d 3 ) Region II: k andx 9 II rho (nu k, x,t ) Region III: k andx III rho e nux (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 32 (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 32 e x2 2(T t)dt (nu k, x,t ) rho I (nu, x,t) e rhot rho II ( nu k, x, t ) Region IV: k andx where IV rho N(x) 1 2pi x II rho nun(d5 ) t 12 N (d 5 ) dt nuc1 N(d 7 ) C 2 N (d 7 ) ( nu, x, t ) (nu k, x,t ) II rho (nu, x,t) e rhot rho I ( nu, x, t ) ( nu k, x, t ), I rho e z2 2 dz, N (x) dn(x) dx is the cumulative standard normal and its density. B. The expectation E, x e nuw t alphaa t 1 Introduce the following notation: 1 2pi e x2 2 y 1 (2alpha) 23 (2s 2alphay), y 2 (2alpha) 23 2s, y 3 (2alpha) 23 (2s 2alphax), W plusmn 2sAi(y 2 ) plusmn (2alpha) 13 Ai (y 2 ), V 2sBi(y 2 ) (2alpha) 13 Bi (y 2 ), where Ai(z) and Bi(z) are Airy functions defined by (Abramowitz and Stegun, 1965): Ai(z) 1 ) cos (uz u3 du, pi 3 Bi(z) 1 ) ) exp (uz u3 sin (uz u3 du. pi For k , the function rho II (nu, x,t) is defined as a limit of the integral for k. rho II(nu, x,T) lim k rho II (nu k, x, T ). 18 228 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Then the function G alpha (x, y s) entering the expression (29) and defined as the Laplace transform e st E, x e alphaa t W t dy dt G alpha (x, y s)dy is given by (Davydov et al. 1998): Region I: x y G I alpha (x, y s) 2Ai(y 1) e 2sx, W Region II: x y ( G II 1 alpha (x, y s) e 2s(x y) W ) e 2s(xy), 2s W Region III: y x G III alpha (x, y s) GII(y, x s), Region IV: y x G IV alpha (x, y s) GI alpha (y, x s ), Region V: y x G V alpha (x, y s) 2piAi(y 3) (2alpha) 13 Region VI: x y alpha Bi(y 1 ) V Ai(y 1 ), W G VI alpha (x, y s) GV alpha (y, x s). The Airy functions are computed using the asymptotic expansions found in Abramowitz and Stegun (1965). To compute the inverse Laplace transform in Equation (29) numerically, we employ the Euler algorithm developed by Abate and Whitt (1995). This algorithm was previously applied to option pricing problems by Fu, Madan, and Wang (1998) and Davydov and Linetsky (1998). Then the integral in y in (29) is calculated numerically. Finally, (26) gives the ESO value under the forfeiture and early exercise intensity specification (23). References Abate, J. and Whitt, W. (1995), Numerical inversion of Laplace transforms of probability distributions, ORSA Journal of Computing 7, Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (1965), Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York. Akahori, J. (1995), Some formulae for a new type of path-dependent option, The Annals of Applied Probability 5(2), 19 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 229 Black, F. and Scholes, M. 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It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of exercise or forfeiture are calculated in closed-form. JEL classification: G13, G39, M41. Se você tiver problemas ao fazer o download de um arquivo, verifique se você tem o aplicativo adequado para visualizá-lo primeiro. Em caso de problemas adicionais, leia a página de ajuda IDEAS. Observe que esses arquivos não estão no site IDEAS. Por favor, seja paciente, pois os arquivos podem ser grandes. Como o acesso a este documento é restrito, você pode querer procurar uma versão diferente em Pesquisas relacionadas (mais adiante) ou procurar uma versão diferente do mesmo. Article provided by European Finance Association in its journal Review of Finance . Volume (Year): 4 (2000) Issue (Month): 3 () Pages: 211-230 Find related papers by JEL classification: G13 - Financial Economics - - General Financial Markets - - - Contingent Pricing Futures Pricing G39 - Financial Economics - - Corporate Finance and Governance - - - Other M41 - Business Administration and Business Economics Marketing Accounting Personnel Economics - - Accounting - - - Accounting No references listed on IDEAS You can help add them by filling out this form. Citations are extracted by the CitEc Project. subscribe to its RSS feed for this item. This item is not listed on Wikipedia, on a reading list or among the top items on IDEAS. 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The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of. This paper presents a general intensity-based framework to value executive stock options (ESOs). It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of exercise or forfeiture are calculated in closed-form. JEL classification: G13, G39, M41. Keywords: Brownian area early exercise executive stock options Feynman-Kac formula forfeiture Laplace transform occupation time point processes with random intensity Journal Article. 0 words. Subjects: Financial Law Financial Institutions and Services Financial Markets Full text: subscription required